有三个小问的导数题，第（3）问需要踩第（2）问的结论继续研究，这是2019、2022、2023告诉我们亘古不变的真理。
2022
（1）
因为$f(x)=e^xln(1+x)$，
所以$f’(x)=e^x[\frac{1}{1+x}+ln(1+x)]$。
所以$f(0)=0$，$f’(0)=1$，
所以曲线$y=f(x)$在$(0,f(0))$处的切线方程为$y=x$。
（2）
由题设，$g(x)=e^x[\frac{1}{1+x}+ln(1+x)]$，
所以$g’(x)=e^x[\frac{1+2x}{(1+x)^2}+ln(1+x)]$。
因为$x>0$，所以$g’(x)>0$，
所以函数$g(x)$在$[0,+∞)$上单调递增。
（3）
不妨假设$t>0$取定，令$h(x)=f(x+t)-f(x)-f(t)$，$x∈[0,+∞)$，
则$h’(x)=f’(x+t)-f’(x)$，$x∈[0,+∞)$。
由（2）知，$f’(x)$在$[0,+∞)$上单调递增，
所以$h’(x)=f’(x+t)-f’(x)>0$，
从而$h(x)$在$[0,+∞)$上单调递增。
因为$h(0)=-f(0)=0$，
所以当$s>0$时，$h(s)>h(0)=0$，即$f(s+t)-f(s)-f(t)>0$，
综上，对任意的$s,t∈(0,+∞)$，有$f(s+t)>f(s)+f(t)$。
本题第（1）问是平和的求切线问题。本题第（2）问考察研究函数单调性的通性通法，通过直接观察$g’(x)$的代数特征来判断正负而非继续求导是考生应当具有的能力。本题第（3）问是意料之外的双元变量问题，角度刁钻难度大，因而仍不是后续复习的方向。另外，本题第（3）问的命题背景是凹函数的性质，感兴趣的大学生可以进一步了解。
2021
（1）
当$a=0$时，$f(x)=\frac{3}{x^2}-\frac{2}{x}$，$f’(x)=-\frac{6}{x^3}+\frac{2}{x^2}$。
所以$f(1)=1$，$f’(1)=-4$，
所以曲线$y=f(x)$在$(1,f(1))$处的切线方程为$y=-4x+5$。
（2）
由$f(x)=\frac{3-2x}{x^2+a}$得$f’(x)=\frac{2(x^2-3x-a)}{(x^2+a)^2}$。
由题意知$f’(-1)=0$，所以$(-1)^2-3×(-1)+a=0$，解得$a=4$。
当$a=4$时，$f(x)=\frac{3-2x}{x^2+4}$，$f’(x)=\frac{2(x+1)(x-4)}{(x^2+4)^2}$。
$f’(x)$与$f(x)$的情况如下：
| $x$ | $(-∞,-1)$ | $-1$ | $(-1,4)$ | $4$ | $(4,+∞)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f’(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | $↗$ | $1$ | $↘$ | $-\frac{1}{4}$ | $↗$ |
因此$f(x)$的单调递增区间是$(-∞,-1)$和$(4,+∞)$，单调递减区间是$(-1,4)$。
所以$f(x)$在区间$(-∞,4)$上的最大值是$f(-1)=1$。
又因为当$x∈(4,+∞)$时，$f(x)<0$，所以$f(-1)=1$是$f(x)$的最大值。
同理当$x∈(-∞,-1)$时，$f(x)>0$，所以$f(4)=-\frac{1}{4}$是$f(x)$的最小值。
本题的第（1）问是平和的求切线问题。本题第（2）问揭示了研究函数性态问题的一般性方法，属一道经典好题。在第（2）问中，由于导函数值为$0$是函数取得极值的必要而不充分条件，所以需要列表验证$-1$是导函数的变号零点。此外，在研究函数最值时，通过观察原函数的代数特征，判断在特定区间中函数的值域（最常见的是判断正负），是利用导数研究函数问题的高阶核心能力。
2020
（1）
因为$f(x)=12-x^2$，
所以$f’(x)=-2x$。
令$f’(x)=-2$，解得$x=1$。
因为$f(1)=11$，
所以曲线$y=f(x)$在$(1,f(1))$处的切线方程为$y=-2x+13$。
（2）
由题设，$t≠0$。
当$t>0$时，切线的斜率为$f’(t)=-2t$，切线方程为$y=-2tx+t^2+12$。
该切线与$x$轴的交点为$(\frac{t^2+12}{2t},0)$，与$y$轴的交点为$(0,t^2+12)$，
所以$S(t)=\frac{1}{2}(\frac{t^2+12}{2t})(t^2+12)=\frac{1}{4}t^3+6t+\frac{36}{t}$。
$S’(t)=\frac{3(t^2+12)(t+2)(t-2)}{4t^2}$。
$S’(t)$与$S(t)$的情况如下：
| $t$ | $(0,2)$ | $2$ | $(2,+∞)$ |
|---|---|---|---|
| $S’(t)$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $S(t)$ | $↘$ | $32$ | $↗$ |
当$t=2$时，$S(t)$取得最小值$32$。
当$t<0$时，因为$f(x)$是偶函数，由对称性知当$t=-2$时，$S(t)$取得最小值$32$。
综上所述，$S(t)$的最小值为$32$，此时$t=±2$。
本题的亮点是基于非常平易近人的二次函数考察使用导数工具研究问题的过程。第（1）问沿袭2019年给斜率确定切点求切线的设问方式，难度平和。第（2）问首先要确定$f(x)$是偶函数，只讨论$t>0$，减轻负担。然后根据几何元素确定$S(t)$的表达式，并用导数工具确定$S(t)$的最小值，明确“导数是研究函数的工具”这一主旋律。
